參考公式：錐體的體積公式 
，其中 
是錐體的底面積， 
是錐體的高．
如果事件 
、 
互斥，那么 
．
用最小二乘法求線性回歸方程系數公式， 
， 
．
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1、 
是虛數單位， 
（??????）
A． 
B． 
C． 
D． 
2、函數 
的定義域為實數集 
，“ 是奇函數”是“ 
是偶函數”的（??????）
A．充分非必要條件???????????B．必要非充分條件
C．非充分非必要條件?????????D．充要條件
3、 
是等差數列， 
與 
的等差中項為1， 
與 
的等差中項為2，則公差 
（??????）
A． 
B． 
C． 
D． 
4、函數 
在區間 
上單調遞增，常數 
的值可能是（??????）
A． 
B． 
C． 
D． 
5、雙曲線 
： 
的兩條漸近線夾角（銳角）為 
，則 
（??????）
A． 
B． 
C． 
D． 
6、一個四面體如圖1，若該四面體的正視圖（主視圖）、側視圖（左視圖）和俯視圖都是直角邊長為1
的等腰直角三角形，則它的體積 
（??????）
A． 
B． 
C． 
D． 
7、 
的二項展開式17個項中，整式的個數是（??????）
A． 
B． 
C． 
D． 
8、設 
，集合 
， 
，記“從集合 
中任取一個元素 
， 
”為事件 
，“從集合 中任取一個元素 
， 
”為事件 
．給定下列三個命題：
①當 
， 
時， 
；
②若 
，則 
， 
；
③ 
恒成立．
其中，為真命題的是（??????）
A．①②????B．①③????C．②③????D．①②③
二、填空題：本大題共7小題，考生作答4小題，每小題5分，滿分30分．
(一)必做題（9～13題）
9．不等式 
的解集為??????．
10．已知拋物線 ： 
的焦點為 
， 
是 上一點，若 
在第一象限， 
，
則點 的坐標為??????．
11．若變量 
、 
滿足約束條件 
，則 
的最大值 
．
12．運行如圖2所示的程序框圖，輸出的結果 
．
13．已知 
與 
之間的幾組數據如下表：
| | 3 | 4 | 5 | 6 |
| | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
假設根據上表數據所得線性回歸方程為 
，根據中間兩組數據（4，3）和（5，4）求得的直線方程為 
，則 
， 
．（填“ 
”或“ 
”）
(二)選做題（14、15題，考生只能從中選做一題）
14．（坐標系與參數方程選做題）在極坐標系中，曲線 
上到直線 
的距離為1的點的個數是????????．
15．（幾何證明選講選做題）如圖3，圓 
的弦 
、 
相交于點 
，若 
， 
，則 
．
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16．（本小題滿分12分）
已知 
頂點的直角坐標分別是 
、 
、 
．
⑴求 
的值；
⑵若 
，證明： 
、 
、 
三點共線．
17．（本小題滿分13分）
某樹苗培育基地為了解其基地內榕樹樹苗的長勢情況，隨機抽取了100株樹苗，分別測出它們的高度（單位： 
），并將所得數據分組，畫出頻率分布表如下：
| 組距 | 頻數 | 頻率 |
| [100，102) | 17 | 0.17 |
| [102，104) | 18 | 0.18 |
| [104，106) | 24 | 0.24 |
| [106，108) |  |  |
| [108，110) | 6 | 0.06 |
| [110，112) | 3 | 0.03 |
| 合計 | 100 | 1 |
⑴求上表中 、 的值；
⑵估計該基地榕樹樹苗平均高度；
⑶基地從上述100株榕樹苗中高度在[108，112)范圍內的樹苗中隨機選出5株進行育種研究，其中在[110，112)內的有 
株，求 
的分布列和期望．
18．（本小題滿分14分）
設數列 的前 
項和 
， 
．
⑴求 的值；
⑵求數列 的通項公式；
⑶證明：對一切正整數 
，有 
．
19．（本小題滿分13分）
如圖4，直四棱柱 
的底面是菱形，側面是正方形， 
， 
是棱 
的延長線上一點，經過點 
、 
、 
的平面交棱 
于點 
， 
．
⑴求證：平面 
平面 
；
⑵求二面角 
的平面角的余弦值．
20．（本小題滿分14分）
平面直角坐標系 
中，橢圓 
： 
（ 
）的離心率為 
，焦點為 
、 
，
直線 
： 
經過焦點 
，并與 
相交于 
、 
兩點．
⑴求 的方程；
⑵在 上是否存在 
、 
兩點，滿足 
， 
？若存在，求直線 
的方程；
若不存在，說明理由．
21．（本小題滿分14分）
設函數 
， 
是自然對數的底數， 
， 
為常數．
⑴若 
在 
處的切線 
的斜率為 
，求 
的值；
⑵在⑴的條件下，證明切線 與曲線 在區間 
至少有1個公共點；
⑶若 
是 的一個單調區間，求 的取值范圍．
評分參考答案
一、選擇題??BACD?DCBB
二、填空題??⒐ 
或 
（每個區間2分，在此基礎上正確用區間或集合表示1分；若混淆閉區間與開區間則扣該區間1分。）
⒑ 
（若寫成 
或 
給3分，其他不給分）
⒒ 
⒓ 
⒔ ， （若兩空一對一錯，給3分）????⒕ 
⒖ 
三、解答題
⒗⑴（方法一） 
， 
， 
……3分
……6分（公式2分）
（方法二） 
， 
……2分
……6分（公式2分）
⑵（方法一） ， 
……9分
∵ 
，∴ 
、 
共線……11分
∵ 
、 
有共同的始點，∴ 、 、 三點共線……12分
（方法二）經過 、 兩點的直線 
的方程為
（即 
）……9分
設 
，由 得 
……10分
解得 
……11分
∵ 
（或 
），∴( 在 
上) 、 、 三點共線……12分
⒘⑴ 
， 
……2分
⑵估計該基地榕樹樹苗平均高度為
( )……6分
（列式2分，求值1分，文字說明與單位完整1分。）
⑶由頻率分布表知樹苗高度在[108，112)范圍內的有9株，在[110，112)范圍內的有3株，因此 
的所有可能取值為0，1，2，3……7分
， 
，
， 
……11分
 | 0 | 1 | 2 | 3 |
 |  |  |  |  |
的分布列為
……12分
的期望為 
……13分（列式正確1分）
⒙⑴ 
……1分
⑵ 
時， 
……4分（上式每個等號1分）
時， 
，所以 
， 
……5分
⑶由⑵知， 時， 
……7分
……9分
……11分
……12分， 
……13分
∵ 
單調遞增，∴ ， ……14分
⒚⑴設四棱柱 的棱長為 
∵ ， 
∽ 
，∴ 
……1分
由 
， 
，得 
， 
……2分
∵ 
，∴ 
， 
……3分
是直四棱柱， 
，又 
，∴ 
，∵ 
，∴ 
平面 ……4分
∵ 
平面 
，∴平面 平面 ……5分
⑵（方法一）過 
作 
于 
， 
于 
，連接 
……6分
由平面 平面 ，平面 
平面 
，
平面 ……7分
∴ 
，又 ， 
，∴ 
平面 
， 
， 
是二面角 的平面角……9分
在 
中， ， 
， 
， 
，在 
中， 
， ， 
， 
（ 
、 求得任何一個給2分，兩個全對給3分）……12分
， 
……13分
（方法二）以 為原點， 
、 
所在直線為 
軸、 
軸，平行于 的直線 
為 
軸建立空間直角坐標系……6分，則
， 
， 
……7分
設平面 
的一個法向量為 
，則 
……9分，即 
，不妨取 
……10分，由⑴知 
， 
……11分，平面 
的一個法向量為 
……12分，二面角 的平面角的余弦值 
……13分
⒛⑴依題意 
， 
……2分，由 
得 
……3分
，橢圓 的方程為 
……4分
⑵（方法一）若存在滿足條件的直線 ，∵ ，∴ 
，設直線 的方程為 
……5分
由 
……6分，得 
……7分
， 
（*）
……8分
設 
， 
，則 
， 
……9分
由已知 ，若線段 的中點為 
，則 
， 
……10分
， 
即 
……11分
由 
……12分，解得 
……13分
時， 
，與（*）矛盾，∴不存在滿足條件的直線
……14分
（方法二）假設存在 
， 
，線段 的中點為 
，則 
， 
……5分
由 
兩式相減得： 
……7分，代入、化簡得： 
①……8分
由已知 ，則 ， ……9分
由 
得， 
②……10分
由①②解得 
，即 
……11分
直線CD的方程為： 
……12分
聯立 
得 
……13分
∵ 
，方程（組）無解，∴不存在滿足條件的直線
……14分
21．⑴ 
……1分
依題意， 
，解得 
……2分
⑵由⑴ 
，直線 的方程為 
，即 
……3分
作 
，
則 
……4分， 
……5分（用其他適當的數替代 
亦可）
因為 
在 
上是連續不斷的曲線， 
， 在 內有零點， 
，從而切線 與曲線 在區間 至少有1個公共點……6分
⑶ 
， 是 的一個單調區間當且僅當 
在 上恒大于等于零，或恒小于等于零，由 
，作 
，由 
得 
……7分
 |  |  |  |
 | － | 0 | + |
 | ↘ | 最小值 | ↗ |
……9分
在 上的最小值為 
，所以，當且僅當 
時， 
在 上單調遞增……11分
下面比較 
與 
的大小
（方法一）由 
， 
， 
以及 在 上單調遞減得 
……12分
……13分
，
∴ 
，當且僅當 
時， 在 上單調遞減，綜上所述， 的取值范圍為 
……14分
（方法二）由 
， 
，以及 的單調性知， 
……12分
由 
知， 
單調遞減……13分
由 
得 
， 
， 
，∴ ，當且僅當 時， 在 上單調遞減，綜上所述， 的取值范圍為 ……14分
（“單調遞增……11分”以下，若直接寫 
，再給1分）
本文標題：2015年高考理科數學試題預測卷
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